Álgebra lineal Ejemplos

$y = 3 x + z - 2$ , $z = 3 x + 4$ , $y = 5 z$

Paso 1

Move all of the variables to the left side of each equation.

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 1.1.1

Resta $3 x$ de ambos lados de la ecuación.

$y - 3 x = z - 2$

$z = 3 x + 4$

$y = 5 z$

Paso 1.1.2

Resta $z$ de ambos lados de la ecuación.

$y - 3 x - z = - 2$

$z = 3 x + 4$

$y = 5 z$

$y - 3 x - z = - 2$

$z = 3 x + 4$

$y = 5 z$

Paso 1.2

Reordena $y$ y $- 3 x$ .

$- 3 x + y - z = - 2$

$z = 3 x + 4$

$y = 5 z$

Paso 1.3

Resta $3 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x + y - z = - 2$

$z - 3 x = 4$

$y = 5 z$

Paso 1.4

Reordena $z$ y $- 3 x$ .

$- 3 x + y - z = - 2$

$- 3 x + z = 4$

$y = 5 z$

Paso 1.5

Resta $5 z$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x + y - z = - 2$

$- 3 x + z = 4$

$y - 5 z = 0$

$- 3 x + y - z = - 2$

$- 3 x + z = 4$

$y - 5 z = 0$

Paso 2

Representa el sistema de ecuaciones en el formato de la matriz.

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 & - 1 \\ - 3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 5 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ 0 \end{array}]$

Paso 3

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} - 3 & 1 & - 1 \\ - 3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 5 \end{array}]$ .

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Paso 3.1

Write $[\begin{array}{c} - 3 & 1 & - 1 \\ - 3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 5 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} - 3 & 1 & - 1 \\ - 3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 5 \end{array} |$

Paso 3.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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Paso 3.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 3.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 3.2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$

Paso 3.2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$

Paso 3.2.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$

Paso 3.2.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$

Paso 3.2.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Paso 3.2.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Paso 3.2.9

Add the terms together.

$- 3 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Paso 3.3

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

$- 3 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0$

Paso 3.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$ .

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Paso 3.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 (0 \cdot - 5 - 1 \cdot 1) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0$

Paso 3.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $0$ por $- 5$ .

$- 3 (0 - 1 \cdot 1) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 3 (0 - 1) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0$

Paso 3.4.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$- 3 \cdot - 1 + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0$

Paso 3.5

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$ .

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Paso 3.5.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 \cdot - 1 + 3 (1 \cdot - 5 - 1 \cdot - 1) + 0$

Paso 3.5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.1.1

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$- 3 \cdot - 1 + 3 (- 5 - 1 \cdot - 1) + 0$

Paso 3.5.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 3 \cdot - 1 + 3 (- 5 + 1) + 0$

Paso 3.5.2.2

Suma $- 5$ y $1$ .

$- 3 \cdot - 1 + 3 \cdot - 4 + 0$

Paso 3.6

Simplifica el determinante.

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Paso 3.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.6.1.1

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$3 + 3 \cdot - 4 + 0$

Paso 3.6.1.2

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$3 - 12 + 0$

Paso 3.6.2

Resta $12$ de $3$ .

$- 9 + 0$

Paso 3.6.3

Suma $- 9$ y $0$ .

$- 9$

$D = - 9$

Paso 4

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Paso 5

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Paso 5.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ 0 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 & - 1 \\ 4 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 5 \end{array} |$

Paso 5.2

Find the determinant.

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Paso 5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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Paso 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 5.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$

Paso 5.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$

Paso 5.2.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$

Paso 5.2.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$

Paso 5.2.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.1.9

Add the terms together.

$- 2 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

$- 2 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0$

Paso 5.2.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$ .

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Paso 5.2.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 (0 \cdot - 5 - 1 \cdot 1) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0$

Paso 5.2.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.2.1.1

Multiplica $0$ por $- 5$ .

$- 2 (0 - 1 \cdot 1) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0$

Paso 5.2.3.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 (0 - 1) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0$

Paso 5.2.3.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$- 2 \cdot - 1 - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0$

Paso 5.2.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$ .

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Paso 5.2.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 \cdot - 1 - 4 (1 \cdot - 5 - 1 \cdot - 1) + 0$

Paso 5.2.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.2.1.1

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$- 2 \cdot - 1 - 4 (- 5 - 1 \cdot - 1) + 0$

Paso 5.2.4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 2 \cdot - 1 - 4 (- 5 + 1) + 0$

Paso 5.2.4.2.2

Suma $- 5$ y $1$ .

$- 2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 4 + 0$

Paso 5.2.5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.5.1.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 - 4 \cdot - 4 + 0$

Paso 5.2.5.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$2 + 16 + 0$

Paso 5.2.5.2

Suma $2$ y $16$ .

$18 + 0$

Paso 5.2.5.3

Suma $18$ y $0$ .

$18$

$D_{x} = 18$

Paso 5.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Paso 5.4

Substitute $- 9$ for $D$ and $18$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{18}{- 9}$

Paso 5.5

Divide $18$ por $- 9$ .

$x = - 2$

Paso 6

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Paso 6.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ 0 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 3 & - 2 & - 1 \\ - 3 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & - 5 \end{array} |$

Paso 6.2

Find the determinant.

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Paso 6.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $3$ by its cofactor and add.

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Paso 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 6.2.1.3

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Paso 6.2.1.4

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Paso 6.2.1.5

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Paso 6.2.1.6

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Paso 6.2.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Paso 6.2.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$- 5 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Paso 6.2.1.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 3 & 1 \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Paso 6.2.2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 4 & 1 \end{array} |$ .

$0 + 0 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 3 & 1 \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Paso 6.2.3

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

$0 + 0 - 5 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Paso 6.2.4

Evalúa $| \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} |$ .

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Paso 6.2.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + 0 - 5 (- 3 \cdot 4 - (- 3 \cdot - 2))$

Paso 6.2.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 6.2.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.4.2.1.1

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$0 + 0 - 5 (- 12 - (- 3 \cdot - 2))$

Paso 6.2.4.2.1.2

Multiplica $- (- 3 \cdot - 2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$0 + 0 - 5 (- 12 - 1 \cdot 6)$

Paso 6.2.4.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$0 + 0 - 5 (- 12 - 6)$

Paso 6.2.4.2.2

Resta $6$ de $- 12$ .

$0 + 0 - 5 \cdot - 18$

Paso 6.2.5

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.5.1

Multiplica $- 5$ por $- 18$ .

$0 + 0 + 90$

Paso 6.2.5.2

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 90$

Paso 6.2.5.3

Suma $0$ y $90$ .

$90$

$D_{y} = 90$

Paso 6.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Paso 6.4

Substitute $- 9$ for $D$ and $90$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{90}{- 9}$

Paso 6.5

Divide $90$ por $- 9$ .

$y = - 10$

Paso 7

Find the value of $z$ by Cramer's Rule, which states that $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

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Paso 7.1

Replace column $3$ of the coefficient matrix that corresponds to the $z$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ 0 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 3 & 1 & - 2 \\ - 3 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} |$

Paso 7.2

Find the determinant.

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Paso 7.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $3$ by its cofactor and add.

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Paso 7.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 7.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 7.2.1.3

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 0 & 4 \end{array} |$

Paso 7.2.1.4

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 0 & 4 \end{array} |$

Paso 7.2.1.5

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Paso 7.2.1.6

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Paso 7.2.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 3 & 0 \end{array} |$

Paso 7.2.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 3 & 0 \end{array} |$

Paso 7.2.1.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 0 & 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 3 & 0 \end{array} |$

Paso 7.2.2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 0 & 4 \end{array} |$ .

$0 - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 3 & 0 \end{array} |$

Paso 7.2.3

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 3 & 0 \end{array} |$ .

$0 - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} | + 0$

Paso 7.2.4

Evalúa $| \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} |$ .

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Paso 7.2.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 - 1 (- 3 \cdot 4 - (- 3 \cdot - 2)) + 0$

Paso 7.2.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 7.2.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.4.2.1.1

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$0 - 1 (- 12 - (- 3 \cdot - 2)) + 0$

Paso 7.2.4.2.1.2

Multiplica $- (- 3 \cdot - 2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$0 - 1 (- 12 - 1 \cdot 6) + 0$

Paso 7.2.4.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$0 - 1 (- 12 - 6) + 0$

Paso 7.2.4.2.2

Resta $6$ de $- 12$ .

$0 - 1 \cdot - 18 + 0$

Paso 7.2.5

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 18$ .

$0 + 18 + 0$

Paso 7.2.5.2

Suma $0$ y $18$ .

$18 + 0$

Paso 7.2.5.3

Suma $18$ y $0$ .

$18$

$D_{z} = 18$

Paso 7.3

Use the formula to solve for $z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Paso 7.4

Substitute $- 9$ for $D$ and $18$ for $D_{z}$ in the formula.

$z = \frac{18}{- 9}$

Paso 7.5

Divide $18$ por $- 9$ .

$z = - 2$

Paso 8

Enumera la solución del sistema de ecuaciones.

$x = - 2$

$y = - 10$

$z = - 2$